✎ Addition et soustraction de fractions

Propriété

Pour tous nombres entiers relatifs \(a, b\) et \(c\), avec \(b \neq0\), on a :
 \(\quad\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}\qquad\qquad\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}\)

Remarque

Dans la propriété ci-dessus, les fractions que l'on ajoute ou que l'on soustrait ont le même dénominateur !

Exemples
\(\qquad \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3+1}{5}=\dfrac{4}{5}\qquad\qquad\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac{2}{5}\)

Remarque

Lorsque les fractions n'ont pas le même dénominateur, il faut modifier l'écriture d'au moins l'une des deux afin qu'elles aient le même dénominateur.

Exemples

• \(\qquad\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\times 2}{3\times 2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2-1}{6}=\dfrac{1}{6}\) 
  

Ici, le dénominateur de la seconde fraction est un multiple de celui de la première. Nous n'avons donc besoin de modifier l'écriture que de la première fraction.

• \(\qquad\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3\times 4}{5\times 4}+\dfrac{1\times 5}{4\times 5}=\dfrac{12}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{12+5}{20}=\dfrac{17}{20}\)
  

\(\qquad\dfrac{-5}{7}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{-5\times 3}{7\times 3}+\dfrac{1\times 7}{3\times 7}=\dfrac{-15}{21}+\dfrac{7}{21}=\dfrac{-15+7}{21}=\dfrac{7-15}{21}=\dfrac{-8}{21}\)
Dans les deux exemples précédents, il est nécessaire de modifier l'écriture des deux fractions que l'on ajoute.

• \(\qquad\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 3}{3\times 4}+\dfrac{5\times2}{6\times2}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}\)
  

Ici, nous avons modifié l'écriture des deux fractions en utilisant le plus petit multiple commun aux nombres \(4\) et \(6\), c'est-à-dire \(12\).